徒然weed

アウトプットの場

最近読んだ本をゆる~く紹介するコーナー

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久しぶりの投稿です。

今回は最近読んだ本をひたすら紹介していくコーナーです。

僕は数理系分野を研究していることもあって、可処分時間は研究で触れることのない人文科学(主に哲学、世界史、日本史)や社会科学(地政学や経済学)の本を好んで読んでいます。美術史や自伝、小説も読みます。

大体一日2~3時間くらいは読書しているので、平均して5~7日に一冊くらいのぺースで本を読んでいます。

そんな僕がお勧めする本をゆる~く紹介していきたいと思います。

おすすめシリーズ

哲学

スピノザ『エチカ』 100分で名著」

父におすすめされて読みました。分量はそれほどなく、気軽に読めると思います。

17世紀の哲学者というと他にもライプニッツデカルトなどがいますが、この時代の哲学者は同時に数学者や物理学者でもあったわけです。様々な分野で功績を残す彼らがどのように物事を考えていたのか個人的に強い興味があって読んでみました。

デカルトの"Cogito, ergo sum."(「我思う、ゆえに我あり。」)は有名ですが、スピノザはあまりよく知られていない印象です。彼の哲学思想のベースにある「神即自然」というアイデアをわかりやすく紹介していておすすめです。

スピノザ『エチカ』 2018年12月 (100分 de 名著)

スピノザ『エチカ』 2018年12月 (100分 de 名著)

  • 発売日: 2018/11/24
  • メディア: ムック
 

自伝

不格好経営

成功を収めた経営者の自伝を読んでみたいと思い手に取りました。

読めばわかりますが南場さんはユーモアあふれてエネルギッシュな方です。大変感動しました。DeNAがビッグになるまでの波乱万丈なストーリーが面白おかしく、それでいて感動的に語られています。

不格好経営 (日本経済新聞出版)

不格好経営 (日本経済新聞出版)

 
「豊田章夫」

いわずと知れた日本最大のモビリティカンパニーTOYOTA社の社長、豊田章夫さんの自伝(第三者が書いてるから自伝ではないか)。賛否両論が常に沸き起こる「章夫流」の数々の「演出」が独り歩きしがちですが、人をひきつけるユーモア、いかなる局面でも物怖じしない肝っ玉、車を愛し日本経済をけん引するリーダーシップ、そして時代の転換点をいち早く敏感に感じ取り実行に移す経営者として巧みな経営手腕など盛りだくさんの内容です。

豊田章男

豊田章男

 

地政学

「銃・病源菌・鉄」

実はまだ下巻のちょうど半分くらいまでしか読んでいませんがご紹介。

地政学ともいえるし人類史の本ともいえます。

今日の世界がどう形作られたのかを氷河時代(~約1万年前程度)が終わった時期から考察しています。なぜ人類初となる文明社会がティグリス・ユーフラテス川を中心とした「三日月肥沃地帯」といわれるエリアで興ったのか。なぜ、欧州を中心とした旧世界が新世界といわれる地域を支配するようになり、逆ではなかったのか。それらの問いに非常に興味深い考察を重ねていきます。 

小説

「異邦人」

ものすごく感覚的なことを言うと、全体的に色味がなく脳内で白黒に映っているイメージです。しかし、それが主人公のこの世への無気力感や虚無感として表現されています。最後、3ページほどの描写は圧巻でした。

異邦人 (新潮文庫)

異邦人 (新潮文庫)

  • 作者:カミュ
  • 発売日: 1963/07/02
  • メディア: 文庫
 

美術史

「鑑賞のための西洋美術史入門]、「知識ゼロからの西洋絵画入門」、「巨匠に教わる絵画の見かた」

 

母親が持っていたのをパクりました。どれも絵がいっぱいあってちょーーーー読みやすい。絵ってそれ一枚でとてつもないインスピレーションを人に与えますね。

恥ずかしながら今までは美術って個人が思い思いに好きなように書いてると思ってたのですが、意外とその時代の社会情勢を色濃く反映しているんですね。

鑑賞のための西洋美術史入門 (リトルキュレーターシリーズ)

鑑賞のための西洋美術史入門 (リトルキュレーターシリーズ)

  • 作者:早坂 優子
  • 発売日: 2006/07/01
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)
 
知識ゼロからの西洋絵画入門

知識ゼロからの西洋絵画入門

  • 作者:山田 五郎
  • 発売日: 2008/05/01
  • メディア: 単行本
 
巨匠に教わる絵画の見かた (リトルキュレーターシリーズ)

巨匠に教わる絵画の見かた (リトルキュレーターシリーズ)

  • 作者:早坂 優子
  • 発売日: 1996/10/01
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)
 

 

現在進行形&これから読んでみたいシリーズ

ここからは現在進行中で読んでいる本もしくはこれから読む予定の本をちょっとだけ紹介。

夜と霧 新版

夜と霧 新版

CASE革命 2030年の自動車産業

CASE革命 2030年の自動車産業

  • 作者:中西 孝樹
  • 発売日: 2018/11/21
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)
 
存在と時間〈上〉 (ちくま学芸文庫)
 

 

いかがでしたでしょうか。まだまだ読んでみたいジャンルの本がたくさんあるので空いた時間をいかして読書を楽しんでいきたいと思います。

それでは、次回もお楽しみに~。

 

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本日のおまけ

旅行がしたくなる。BUMPの歌も良い。

youtu.be

 

 

ルベーグ空間が完備であることを証明してみよう

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久しぶりの投稿になってしまいました。

今回はルベーグ空間L^p(関数空間の一種)が完備であることを証明してみます。

参考にしているのは学部時代の授業と以下の本です。

関数解析 共立数学講座 (15)

関数解析 共立数学講座 (15)

  • 作者:黒田 成俊
  • 発売日: 1980/11/01
  • メディア: 単行本
 

ER^d上の可測集合としてE上のp乗可積分複素関数全体の作る関数空間をここではルベーグ空間L^pとします。(ただし、1\leq p < \infty)

この関数空間の完備性を示したいわけです。

 

今回取り上げるのは以下の通りです。

まず、バナッハ空間とヒルベルト空間を定義し、数列空間を例にノルムを使った数列の収束に慣れます。

そのあと、数列空間から関数空間に拡張します。

次に、ルベーグ空間の完備性の証明のためのいくつかの準備をして、最後に証明をしてみます。

 

今回も見苦しい手書きが多いですが、あしからず。

 

1. Banach space & Hilbert space

Banach空間とHilbert空間を定義しましょう。端的に言うとそれぞれ「完備なノルム空間」と「完備な内積空間」です。

完備であるとはコーシー列が収束列であるということです。注意しなければいけないのは例えば一次元上での数列の収束性は絶対値で評価できますが、「数列が数列に収束していく」という話になるとその限りではなく、ノルム||・||を用いて「数列同士の距離」を定義して評価しなければなりません。

収束列とは数列\{x_i\}_{i=0,1,2,...}に収束先 lim_{n\rightarrow\infty}x_i が存在する数列のことです。

 それではBanach空間とHilbert空間の定義を見てみましょう。

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それではバナッハ空間である数列空間の例を一つ見ておきましょう。

複素数列 u = (u_k)_{k=1,2,3,...}=(u_1, u_2,...)\sum_{k=1,2,...}^{\infty}|u_k| <\inftyを満たす数列全体が作る空間をl^1とします。

l^1||u|| = \sum_{k=1,2,3...}^{\infty}|u_k|をノルムとしてBanach空間であることを示しましょう。

l^1の線形演算を以下のように定義します。

  1.  u+v = \{u_1+v_1, u_2+v_2,...\}
  2. \alpha u =\{ \alpha u_1, \alpha u_2, ...\} 

 そうすると、u, v \in l^1ならば任意のNに対して

\sum_{k=1}^{N} |u_k+v_k| \leq \sum_{k=1}^{N}|u_k| + \sum_{k=1}^{N}|v_k|\leq ||u||+||v|| < \infty

なのでu+v\in l^1であり、u \in l^1 ならば \alpha u \in l^1となり線形演算に対してl^1が閉じています。線形空間の公理・ノルム空間の公理が成立することは容易に確かめられるのであとはl^1が完備であることを示します。

 l^1が完備であるということは l^1のコーシー列に収束先が存在し、それがまた l^1に存在することを示さなければいけません。方針としてはコーシー列をなす \{u^{(n)}\}_{n=1,2,...} (一個一個の数列  u^{(n)} = \{u_1^{(n)}, u_2^{(n)},...\}は l^1に属す)のある数列 u^{(n)}の k番目の成分がある数列 uの k番目に収束することをまず示します。その uがまた l^1に属し、なおかつu が  n\rightarrow \inftyでコーシー列\{u^{(n)}\}_{n=1,2,...}の収束先になっていればよいです。

それでは示しましょう。途中、複素数 \mathbb{C}の完備性を用いています。

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2. function space(関数空間)

 それでは扱う対象を数列から関数に広げ、同様の議論ができることを少し見てみましょう。(以下の定理を見て関数空間に慣れるだけですが。)

【定理】

K\subset\mathbb{R}^d有界閉集合として、K上の連続関数f K \rightarrow \mathbb{R}全体をC(K)で表します。f \in C(K)に対して

||f||_{\infty} := max_{x \in K}\ |f(x)|

と定義すると、 (C(K), ||・||_{\infty})はBanach空間です。

 

完備性の証明だけします。

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3. 優収束定理と単調収束定理ともう一つ

ここでは後で使う二つの定理を紹介します。それぞれ証明は追いません。

E\subset\mathbb{R}^kを可測集合、f : \mathbb{E}\rightarrow [- \infty, \infty]を可測関数とします。また、L-可積分とはルベーグ積分の値が有限ということです。

優収束定理

 ①\{f_n\}がE上可測関数(n=1,2,...)

 ②f_n\rightarrow f \ a.e

 ③|f_n(x)| \leq g(x) a.e. g は L-可積分

となるgが存在するならば、fはL-可積分で、

       lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n(x) dx = \int_E f(x) dx

単調収束定理

0 \leq f_1 \leq f_2 \leq ... \rightarrow f \ \ (n \rightarrow \infty) \ \ \  a.e.

ならば、

       lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n(x) dx = \int_E f(x) dx

(両方とも+\inftyの場合も含める。)

 

定理(名無し)

fが可積分 \Rightarrow |f|\infty a.e

 

 

 

4. 諸々のLemma

ルベーグ空間の完備性の証明に使う定理を簡単な証明や直観的な図を交えて紹介します。その前にルベーグ空間の定義を述べます。

定義  (Lebesgue空間)

1\leq p <  \infty に対し、

L^p(E) := \{f: E\rightarrow \mathbb{R} \ | \ Eは可測集合、fはp乗可積分(つまり、\int_E |f|^p d\mu)\}

とする。そして, f \in L^p(E)に対して次のp-ノルムを定義します。

||f||_p := (\int_E |f|^p d\mu)^{1/p}

 とすると(L^p(E), ||・||^p)はBanach空間です。

 

 

Youngの不等式、Hölderの不等式、Minkowskiの不等式

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5. ルベーグ空間(L^p空間の完備性)

それでは最後にルベーグ空間の完備性を示しましょう。

定義から再度再掲。

定義  (Lebesgue空間)

1\leq p <  \infty に対し、

L^p(E) := \{f: E\rightarrow \mathbb{R} \ | \ Eは可測集合、fはp乗可積分(つまり、\int_E |f|^p d\mu)\}

とする。そして, f \in L^p(E)に対して次のp-ノルムを定義します。

||f||_p := (\int_E |f|^p d\mu)^{1/p}

 とすると(L^p(E), ||・||^p)はBanach空間です。

 

方針

証明(L^p(E)の完備性のみ示す)の方針としてはL^p(E)のコーシー列が収束列であることを示すわけですが、以下の2stepに分けます。

[step1]

コーシー列\{f_n\}_{n=1,2,...}のある部分列\{f_n(k)\}_{k=1,2,...}fに収束して、それがL^p(E)に含まれることを示す。

[step2]

そのfが実は\{f_n\}_{n=1,2..}L^p(E)内での収束先であることを示す。

 

証明

(step1)

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 (step2)

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 (おしまい)

 

 

 

本日のおまけ

シンプルにすげえ。

youtu.be

 

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Human Level Control Through Deep Reinforcement Learning (Vlad Mnih, Koray Kavukcuoglu, et al. 2015)

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 Today's Thesis

Vlad Mnih, Koray Kavukcuoglu, et al. Human Level Control Through Deep Reinforcement Learning | DeepMind, Nature 2015

deepmind.com

 

 Summary

- similar to the previous thesis ([1312.5602] Playing Atari with Deep Reinforcement Learning

- in the [1312.5602] Playing Atari with Deep Reinforcement Learning, they generated the target Q from the network whose parameter is one time-step before but here, they prepare two network  Q and \hat{Q}

-  Q estimates the current Q and will be updated performing gradient descent step on square error but  \hat{Q} will be updated every C step. (C is given)

- in the standard Q-learning an update that increases  Q(s_t, a) also increases Q(s_t, a) for all a and hence increase target y_j which will cause a divergence of the policy. The proposed technique will prevent this.

 

 

 本日のおまけ

youtu.be


 


 

 

 

 

 

 

 

Playing Atari with Deep Reinforcement Learning (Volodymyr Mnih et al., 2013)

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This series is an easy summary(introduction) of the thesis I read. 

[Today' s  thesis]

Volodymyr Mnih, Koray Kavukcuoglu, David Silver, Alex Graves, Ioannis Antonoglou,
Daan Wierstra, Martin Riedmiller. Playing Atari with Deep Reinforcement Learning. NIPS Deep Learning Workshop 2013.

 

summary 

- a classic introducing "deep Q-network" (DQN

- the purpose to construct a Q-network is that, when the number of states of actions gets bigger, we can no longer use a state-action table.

- So what should we do instead of updating the action-value function according to the bellman equation ? → Use the state as an input and construct a network whose output is a action-value function which means the whole network is a approximate function of Q-value

- the aim of this technique is to bring the current  Q(s, a, \theta_{t}) closer to the optimal action-space function  Q^{*}(s, a)= r_{t+1} + max_a Q(s_{t+1}, a_{t+1})

- how do you update the network ? →Construct the loss function using the previous parameter  \theta_{t-1} 

- when you train your network, to avoid the influence of the consecutive samples, you have to set a replay memory and choose a tuple  (s_{j}, a_{j}, r_{j}, s_{j+1}) randomly from it and update the parameter

 

youtu.be

 

 

 

本日のおまけ

youtu.be

 

 

 

 

 

 

Github.ioでポートフォリオを作ってみた(形から入ってみた)

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githubってgithub.ioというサービスを出しておりまして誰でも無料でポートフォリオサイトを作れるんですよ。すげー。ということで、ぼくも形から入ってみた。形から入るの大事でしょ。出来上がったサイト(暫定)はこちらです.

ついでに講義の課題で必要なデータを取るためにOanda APIを使って過去の為替データを取得する簡単なpythonのクラスもgithubにコミーーーーーット!!!

参考というかパクったサイトはこちらです。

qiita.com

 

 

本日のおまけ

youtu.be

読者の方から届いた問題解いてみた。

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読者の方から届いた統計学の問題を解いてみました。

結論から言うと検定周りの知識がダメダメだということが分かりました。ちょっと勉強してきます。

問題を投稿してくれた投稿主に感謝です。

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本日のおまけ

youtu.be

 

 

複雑理工学専攻(H28) 第五問(力学)

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ご要望があったのでH28年の力学の問題を解きました。

久しぶりに物理やりましたなー。しかも剛体。正直、回転の方程式って何???状態だったのできつかった。

【問題】

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【解答】

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時間があれば物理でも解きますのでこの問題を解いてほしいみたいな要望等あれば、遠慮なくコメントしてくださーい(解ければ、の話だが)。院試の問題とかではなくても、「この分野のこれを解説してほしい」みたいなご意見や「おすすめの音楽を教えてほしい!」などでもいいです。気軽にコメントどうぞ~!

研究の合間に取り組みたいと思います。(忙しかったら時間がかかることもあるのでそこんところよろぴく。)

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本日のおまけ

気が早いがみんな夏に向けてぶち上げて行けよ。

youtu.be

 

Should I write my blog in English ? Yeah, probably.

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 I was wondering if I should write my blog in English. Actually, in my lab we speak in English whenever we have a meeting or seminar because there are many students from other countries, mainly from China and South Korea. Therefore, I thought it would be a good exercise to write this blog in English.

I decided to write academic articles in English in this blog. Although I used to live in the United States for about 3 to 4 years when I was little, I'm not good at speaking, reading, listening or writing. I think people reading this blog will find a lot of mistakes in my grammar  or spelling. Please forgive me. I'll work hard to improve my English skill.

From the next article, I will basically introduce papers about machine learning, reinforce learning, information theory and bandit problems irregularly and randomly. 

It would be really tough for me to continue this trial but I hope it will be fruitful.

That's all for this article and I hope you stay safe.  See you next time !

 

Note:I will continue to write in Japanese except for academic matters.

 

 

Today's bonus

Recently, I started playing piano. Playing an musical instrument is so fun.

( I'm totally a beginner ! I've never even touched a piano in my life!)

"Cateen かてぃん" is a proffesional pianist. He graduated from the University of Tokyo. 
youtu.be

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大学(計数工学科)卒業&大学院(複雑理工学)入学

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先日無事、東京大学を卒業しました。めでたしめでたし。

そして今日から東京大学大学院新領域創成科学研究科複雑理工学専攻の杉山研究室に所属します。

 

進振りで計数工学科と航空宇宙工学科で悩んでた時期が懐かしい。どちらに行っても楽しかったでしょうが計数工学科を選んでよかったです。制御工学、信号処理、コンピュータアーキテクチャと色んな分野の概観を掴めるようになっている学科で、絶妙にホワイトだから自分の好きな分野の勉強をする時間もありました。

大学院ではより機械学習の数理寄り(ソフト寄り?)の研究がしたいと思って杉山研究室を選びました。強化学習情報理論(量子情報理論も興味ありだけどここまでくると応用物理感がある)、バンディット問題などなど。どっちかって言うと理論の方が興味ありますが応用も興味あります。

 

 

 

とまあ自分の興味アリ分野の話はここまでにして、今日の話。

早速研究室からPCが支給された。新しいの買う必要がない!素晴らしい!東大ありがとう!I L○ve Y○u!

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研究室のDの先輩とちょこっと世間話した後、いよいよ指導教官と初対面。業界についてたくさん有益な情報をいただいた。

主なカンファレンスの紹介。研究が盛んな分野、はたまたあんまり研究してる人がいない分野などのお話。全部大変参考になった。

どうやら最初の一年は自分の勉強したいこと、やりたいことに自由に取り組んで良いらしい。最初の一年で文献と論文漁って力をつけよう。

 

 

 

 

と、ここで!

 

 

 

 

次に先生に言われたことが衝撃だった。

 

 

 

Twitterで中村君のブログを見ましたよ。感動しました。ははは。」

 

 

 

 

いや、まじか。こんな暇つぶしなブログ見られたのか、恥ずかしい。

てか先生Twitterやっていたのか。リサーチ能力が高い...

え、じゃあこの記事も読まれる可能性あるのか(笑)

気楽にやっていたブログにほんの少し緊張感が生まれた1日でした。

おわり。 

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本日のおまけ

川谷絵音indigo la Endの方が好き。

youtu.be

 

よくわかるトポロジー〜オイラー標数と平面グラフ〜

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 これまでは代数学解析学を主に取り扱ってきたましたが幾何学も面白そうなので取り扱ってみたいと思います。幾何学で有名なものといえば「ポアンカレ予想」でしょう。

ポアンカレ予想とは

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S^{3}に同相である。」

というもの。(すでに解決済みのミレニアム問題。)

これ自体はちんぷんかんぷんですが幾何学を学べば少し見通しがよくなるだろうと思って、幾何学を学んでみようと思った所存でございます。

幾何学といっても「位相幾何学」と「微分幾何学」があります。それらは大まかに言うと以下のようになるとのこと。

・位相的な繋がり方のみ気にする. ⇒ 位相幾何学

・位相的な繋がり方曲がり方まで気にする. ⇒ 微分幾何学

そこで今回は比較的平易な「とくわかるトポロジー」で位相幾何学の雰囲気を掴んでから、微分幾何学をより難易度が高い「多様体の基礎」で学んでいきたいと思います。

よくわかるトポロジー

よくわかるトポロジー

  • 作者:山本修身
  • 発売日: 2015/04/24
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)
 
多様体の基礎 (基礎数学)

多様体の基礎 (基礎数学)

  • 作者:松本 幸夫
  • 発売日: 1988/09/25
  • メディア: 単行本
 

 それではまずオイラー標数を定義します。

まず以下でいう平面図形は「点以外で線が交差することはない」ということを前提にします。

そのもとでオイラー標数を以下のように

e=p-s+f

と定義します。p = 頂点数, s = 線の数, f = 面の数です。

すると平面図形のオイラー標数は1となります。

次に多面体のオイラー票数を考えます。

左下の図形2つのような多面体のオイラー標数は2です。これらはある一つの面を取り払えば、拡げて面に埋め込むことが出来ます。その平面図形のオイラー標数が1なので元あった面の分を足して、オイラー標数は2となるわけです。

【参考】

立体図形に関しては穴が開いていると袋状の立体とオイラー標数が異なることが分かります。これの詳しい説明は現段階では保留。

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さて穴が開いていない多面体の代表例として正多面体があります。

正多面体は何種類あるでしょうか?

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導かれた(k,m,n)のペアはあくまでまでも必要条件に過ぎませんが、全部ちゃんと存在します。

以下、平面図形と言わず平面グラフと呼ぶことにしましょう。点と線によって描かれるグラフのうち線が交差しないものを平面グラフと呼ぶのです。

平面グラフにおいて、引ける線の数には最大値が存在します。前の数が最大のグラフのことを極大平面グラフといいます。

f:id:shintaro-football7:20200318142234j:plainあるグラフが平面グラフかどうか、言い換えると線が交差しないような点と点の関係(つまりグラフ)かどうかを判定する方法としてとても美しい定理が存在します。

それは以下のK_{5}, K(3,3)というグラフがキーとなります。

クラトフスキーの定理の証明👇

 

nayami0425.com

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次回は「位相空間」、「連続性」、「同相」などのキーワードについてやっていこうと思います。 

 

 

本日のおまけ

ミーハーなのでどっちも観た。面白かった。

ミッドサマーはディレクターズカット版を観ました。やばかったです(語彙...)。

youtu.be

youtu.be

 

量子力学〜デルタ関数と連続固有値〜

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量子力学

量子力学

  • 作者:砂川 重信
  • 発売日: 1991/03/20
  • メディア: 単行本
 

 

今回はデルタ関数について。連続値的な固有値を持つ物理量を考えるにあたりデルタ関数を導入しなければいけない。\frac{sinx}{x}積分で久しぶりに複素関数の本開いたわ。

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本日のおまけ

 まず音楽チョイスがオシャンティーなのよね。

youtu.be

 

ガウス過程と機械学習〜ガウス過程回帰〜

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今回はガウス過程回帰について。 

ガウス過程と機械学習 (機械学習プロフェッショナルシリーズ)

ガウス過程と機械学習 (機械学習プロフェッショナルシリーズ)

 

前回の内容はガウス過程とは何かというものだった。 

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yにノイズが乗っかるとしてももとのカーネル関数にノイズを入れたものを使って新たにカーネル関数を作れば良い。

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さてここで一回多変量ガウス分布の条件付き確率について公式を一つ求める。

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ここからガウス過程回帰について考える。予測値も入れた(N+1)×(N+1)次元のデータもガウス分布に従うと仮定して新しいデータx^{*}に対応する予測値を導く。その際使うのが上で導いた公式である。

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最後に、カーネル関数のパラメータ推定についてちょっとだけ。具体的な計算方法について「SCG法」や「L-BFGS法」などが挙げられていますが今回は保留。

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本日のおまけ

全然知らない人だけど喜び方がいい。お母さん(?)の温かく見守る感じも素敵ね。

合格おめでとうございます。全然知らない人だけど。

youtu.be

量子力学〜ハイゼンベルグの不確定性原理と離散固有値〜

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今回は第2章からハイゼンベルグ不確定性原理と重ね合わせの原理、期待値、エルミート演算子などについて。

まずはハイゼンベルグ不確定性原理。直感的な説明は下の動画が結構わかりやすい。量子力学的粒子の運動量を見たいときは波動としての波長を測れないと求められないが、それだと正確な位置を求められない。逆に、正確な位置を観測すると波動としての情報が失われ、運動量を計算できないという話。

あとはエルミート演算子についてですが、これは次回以降のための準備に近い。

www.ted.com

 

続いて離散的な固有値をもつ物理量に関する固有値問題

重ね合わせの原理はあの有名な「シュレディンガーの猫」でおなじみ。観測されるまで複数の状態が重ね合わさっていて、 観測された瞬間一つの状態の収縮(瞬間転移)という話です。まじかよ。「神はサイコロを振らない」と述べたアインシュタインの気持ちよくわかるわ。

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本日のおまけ

youtu.be

 

集合の濃度 〜有理数と自然数はどっちが多い?〜

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自然数有理数どちらが多いか?

数直線を書くと...

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(写真出典:自然数と有理数ってどっちが多い? 〜無限ってなんだろう〜 | 受験生応援し隊~presented by forEst~

 

上の写真では自然数は目盛りの上にしかありませんが、有理数はその間にもあるので...

 

これは!明らかに!有理数の方が!多い!

と思うでしょうが...

 

実は自然数有理数の数は一緒

 

です。直感と反しますね。

※余談ですが直感と反するといえば、以下の動画面白かった。

 

 

 

まあそれは置いておいて。

なぜ有理数自然数の数が一緒なのか。

まずどちらも無限個あることは確かです。なので個数の比較を次のように考えます。

 

『集合Xから集合Yへの全単射が存在すれば同じ数だけあると言っていい(濃度が等しい)』

 

きわめてわかりやすく、直感に従う定義でしょう。

それでは見ていきます。

まずはタイトルにもあるとおり自然数の数と有理数の数ですが、自然数全体と有理数全体の間に全単射が存在するので同じ数だけあることになります。

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続いて自然数全体と実数全体ですが、これは実数の数のほうが多いです。

以下の証明方法は「カントール対角線論法」と言います。

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おわり。

 

 

 

本日のおまけ