最近読んだ本をゆる～く紹介するコーナー

読書

f:id:shintaro-football7:20191128131440p:plain

久しぶりの投稿です。

今回は最近読んだ本をひたすら紹介していくコーナーです。

僕は数理系分野を研究していることもあって、可処分時間は研究で触れることのない人文科学（主に哲学、世界史、日本史）や社会科学（地政学や経済学）の本を好んで読んでいます。美術史や自伝、小説も読みます。

大体一日2～3時間くらいは読書しているので、平均して5～7日に一冊くらいのぺースで本を読んでいます。

そんな僕がお勧めする本をゆる～く紹介していきたいと思います。

おすすめシリーズ
現在進行形＆これから読んでみたいシリーズ

現在進行形＆これから読んでみたいシリーズ

ここからは現在進行中で読んでいる本もしくはこれから読む予定の本をちょっとだけ紹介。

夜と霧新版

作者:ヴィクトール・Ｅ・フランクル
発売日: 2014/11/07
メディア: Kindle版

マッキンダーの地政学ーデモクラシーの理想と現実

作者:ハルフォード・ジョンマッキンダー
発売日: 2008/09/27
メディア: 単行本

CASE革命 2030年の自動車産業

作者:中西孝樹
発売日: 2018/11/21
メディア: 単行本（ソフトカバー）

サピエンス全史　上下合本版　文明の構造と人類の幸福

作者:ユヴァル・ノア・ハラリ
発売日: 2016/09/16
メディア: Kindle版

数学の大統一に挑む (文春e-book)

作者:エドワード・フレンケル
発売日: 2015/07/24
メディア: Kindle版

集英社学習まんが世界の歴史全22巻+特典セット (学習漫画世界の歴史)

発売日: 2018/02/01
メディア: 単行本

集英社学習まんが日本の歴史全20巻+2020年版特典セット【2冊分お得な特別定価】(全面新版学習漫画日本の歴史)

作者:あおきてつお,早川恵子,幡地英明,河野慶,樋口大輔,柴田竜介,八坂考訓,吉田健二,海野そら太,たなかじゅん
発売日: 2019/11/12
メディア: 単行本

カラマーゾフの兄弟（上）（新潮文庫）

作者:ドストエフスキー
発売日: 2016/07/29
メディア: Kindle版

存在と時間〈上〉 (ちくま学芸文庫)

作者:マルティンハイデッガー
発売日: 1994/06/01
メディア: 文庫

いかがでしたでしょうか。まだまだ読んでみたいジャンルの本がたくさんあるので空いた時間をいかして読書を楽しんでいきたいと思います。

それでは、次回もお楽しみに～。

Twitter アカウント

twitter.com

本日のおまけ

旅行がしたくなる。BUMPの歌も良い。

youtu.be

2020-07-24

ルベーグ空間が完備であることを証明してみよう

測度論関数解析

f:id:shintaro-football7:20200719090055j:plain

久しぶりの投稿になってしまいました。

今回はルベーグ空間 $L^p$ （関数空間の一種）が完備であることを証明してみます。

参考にしているのは学部時代の授業と以下の本です。

関数解析共立数学講座 (15)

作者:黒田成俊
発売日: 1980/11/01
メディア: 単行本

$E$ を $R^d$ 上の可測集合として $E$ 上のp乗可積分な複素関数全体の作る関数空間をここではルベーグ空間 $L^p$ とします。(ただし、 $1\leq p$ < $\infty$ )

この関数空間の完備性を示したいわけです。

今回取り上げるのは以下の通りです。

まず、バナッハ空間とヒルベルト空間を定義し、数列空間を例にノルムを使った数列の収束に慣れます。

そのあと、数列空間から関数空間に拡張します。

次に、ルベーグ空間の完備性の証明のためのいくつかの準備をして、最後に証明をしてみます。

今回も見苦しい手書きが多いですが、あしからず。

1. Banach space & Hilbert space
2. function space（関数空間）
3. 優収束定理と単調収束定理ともう一つ
4. 諸々のLemma
- 定義 (Lebesgue空間)
- Youngの不等式、Hölderの不等式、Minkowskiの不等式
5. ルベーグ空間(空間の完備性)

1. Banach space & Hilbert space

Banach空間とHilbert空間を定義しましょう。端的に言うとそれぞれ「完備なノルム空間」と「完備な内積空間」です。

完備であるとはコーシー列が収束列であるということです。注意しなければいけないのは例えば一次元上での数列の収束性は絶対値で評価できますが、「数列が数列に収束していく」という話になるとその限りではなく、ノルム $||・||$ を用いて「数列同士の距離」を定義して評価しなければなりません。

収束列とは数列 $\{x_i\}_{i=0,1,2,...}$ に収束先 $lim_{n\rightarrow\infty}x_i$ が存在する数列のことです。

それではBanach空間とHilbert空間の定義を見てみましょう。

f:id:shintaro-football7:20200719095832j:plain

それではバナッハ空間である数列空間の例を一つ見ておきましょう。

複素数列 $u = (u_k)_{k=1,2,3,...}=(u_1, u_2,...)$ で $\sum_{k=1,2,...}^{\infty}|u_k|$ < $\infty$ を満たす数列全体が作る空間を $l^1$ とします。

$l^1$ は $||u|| = \sum_{k=1,2,3...}^{\infty}|u_k|$ をノルムとしてBanach空間であることを示しましょう。

$l^1$ の線形演算を以下のように定義します。

$u+v = \{u_1+v_1, u_2+v_2,...\}$
$\alpha u =\{ \alpha u_1, \alpha u_2, ...\}$

そうすると、 $u, v \in l^1$ ならば任意のNに対して

$\sum_{k=1}^{N} |u_k+v_k| \leq \sum_{k=1}^{N}|u_k| + \sum_{k=1}^{N}|v_k|\leq ||u||+||v||$ < $\infty$

なので $u+v\in l^1$ であり、 $u \in l^1$ ならば $\alpha u \in l^1$ となり線形演算に対して $l^1$ が閉じています。線形空間の公理・ノルム空間の公理が成立することは容易に確かめられるのであとは $l^1$ が完備であることを示します。

$l^1$ が完備であるということは $l^1$ のコーシー列に収束先が存在し、それがまた $l^1$ に存在することを示さなければいけません。方針としてはコーシー列をなす $\{u^{(n)}\}_{n=1,2,...}$ (一個一個の数列 $u^{(n)} = \{u_1^{(n)}, u_2^{(n)},...\}$ は $l^1$ に属す)のある数列 $u^{(n)}$ の $k$ 番目の成分がある数列 $u$ の $k$ 番目に収束することをまず示します。その $u$ がまた $l^1$ に属し、なおかつ $u$ が $n\rightarrow \infty$ でコーシー列 $\{u^{(n)}\}_{n=1,2,...}$ の収束先になっていればよいです。

それでは示しましょう。途中、複素数 $\mathbb{C}$ の完備性を用いています。

f:id:shintaro-football7:20200719123821j:plain

2. function space（関数空間）

それでは扱う対象を数列から関数に広げ、同様の議論ができることを少し見てみましょう。（以下の定理を見て関数空間に慣れるだけですが。）

【定理】

$K\subset\mathbb{R}^d$ を有界閉集合として、K上の連続関数 $f K \rightarrow \mathbb{R}$ 全体を $C(K)$ で表します。 $f \in C(K)$ に対して

$||f||_{\infty} := max_{x \in K}\ |f(x)|$

と定義すると、 $(C(K), ||・||_{\infty})$ はBanach空間です。

完備性の証明だけします。

f:id:shintaro-football7:20200719162524p:plain

3. 優収束定理と単調収束定理ともう一つ

ここでは後で使う二つの定理を紹介します。それぞれ証明は追いません。

$E\subset\mathbb{R}^k$ を可測集合、 $f : \mathbb{E}\rightarrow [- \infty, \infty$ ]を可測関数とします。また、L-可積分とはルベーグ積分の値が有限ということです。

優収束定理

　① $\{f_n\}$ がE上可測関数（n=1,2,...)

　② $f_n\rightarrow f \ a.e$

　③ $|f_n(x)| \leq g(x) a.e. g は L-可積分$

となる $g$ が存在するならば、 $f$ はL-可積分で、

　　　　　　 $lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n(x) dx = \int_E f(x) dx$

単調収束定理

$0 \leq f_1 \leq f_2 \leq ... \rightarrow f \ \ (n \rightarrow \infty) \ \ \ a.e.$

ならば、

　　　　　　 $lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n(x) dx = \int_E f(x) dx$

（両方とも $+\infty$ の場合も含める。）

定理（名無し）

$f$ が可積分 $\Rightarrow$ $|f|$ < $\infty$ a.e

4. 諸々のLemma

ルベーグ空間の完備性の証明に使う定理を簡単な証明や直観的な図を交えて紹介します。その前にルベーグ空間の定義を述べます。

定義 (Lebesgue空間)

$1\leq p$ < $\infty$ に対し、

$L^p(E) := \{f: E\rightarrow \mathbb{R} \ | \ Eは可測集合、fはp乗可積分（つまり、\int_E |f|^p d\mu）\}$

とする。そして, $f \in L^p(E)$ に対して次のp-ノルムを定義します。

$||f||_p := (\int_E |f|^p d\mu)^{1/p}$

とすると $(L^p(E), ||・||^p)$ はBanach空間です。

Youngの不等式、Hölderの不等式、Minkowskiの不等式

f:id:shintaro-football7:20200724001730j:plain

f:id:shintaro-football7:20200724001736j:plain

5. ルベーグ空間( $L^p$ 空間の完備性)

それでは最後にルベーグ空間の完備性を示しましょう。

定義から再度再掲。

定義 (Lebesgue空間)

$1\leq p$ < $\infty$ に対し、

$L^p(E) := \{f: E\rightarrow \mathbb{R} \ | \ Eは可測集合、fはp乗可積分（つまり、\int_E |f|^p d\mu）\}$

とする。そして, $f \in L^p(E)$ に対して次のp-ノルムを定義します。

$||f||_p := (\int_E |f|^p d\mu)^{1/p}$

とすると $(L^p(E), ||・||^p)$ はBanach空間です。

方針

証明( $L^p(E)$ の完備性のみ示す)の方針としては $L^p(E)$ のコーシー列が収束列であることを示すわけですが、以下の2stepに分けます。

$[step1$ ]

コーシー列 $\{f_n\}_{n=1,2,...}$ のある部分列 $\{f_n(k)\}_{k=1,2,...}$ が $f$ に収束して、それが $L^p(E)$ に含まれることを示す。

$[step2$ ]

その $f$ が実は $\{f_n\}_{n=1,2..}$ の $L^p(E)$ 内での収束先であることを示す。

証明

(step1)

f:id:shintaro-football7:20200724231009j:plain

f:id:shintaro-football7:20200724231016j:plain

(step2)

f:id:shintaro-football7:20200724233454j:plain

（おしまい）

本日のおまけ

シンプルにすげえ。

youtu.be

ツイッターアカウントもよろしければぜひ～↓↓

おー。 pic.twitter.com/UE6Z8x0S3G
— なかしんblog (@SNblog777) 2020年5月5日

2020-06-08

Human Level Control Through Deep Reinforcement Learning (Vlad Mnih, Koray Kavukcuoglu, et al. 2015)

thesis

f:id:shintaro-football7:20200607135930j:plain

Today's Thesis

Vlad Mnih, Koray Kavukcuoglu, et al. Human Level Control Through Deep Reinforcement Learning | DeepMind, Nature 2015

deepmind.com

Summary

- similar to the previous thesis ([1312.5602] Playing Atari with Deep Reinforcement Learning)

- in the [1312.5602] Playing Atari with Deep Reinforcement Learning, they generated the target Q from the network whose parameter is one time-step before but here, they prepare two network $Q$ and $\hat{Q}$

- $Q$ estimates the current Q and will be updated performing gradient descent step on square error but $\hat{Q}$ will be updated every C step. (C is given)

- in the standard Q-learning an update that increases $Q(s_t, a)$ also increases $Q(s_t, a)$ for all a and hence increase target $y_j$ which will cause a divergence of the policy. The proposed technique will prevent this.

本日のおまけ

youtu.be

2020-06-07

Playing Atari with Deep Reinforcement Learning (Volodymyr Mnih et al., 2013)

thesis

f:id:shintaro-football7:20200607135930j:plain

This series is an easy summary(introduction) of the thesis I read.

[Today' s thesis]

Volodymyr Mnih, Koray Kavukcuoglu, David Silver, Alex Graves, Ioannis Antonoglou,
Daan Wierstra, Martin Riedmiller. Playing Atari with Deep Reinforcement Learning. NIPS Deep Learning Workshop 2013.

summary

- a classic introducing "deep Q-network" (DQN)

- the purpose to construct a Q-network is that, when the number of states of actions gets bigger, we can no longer use a state-action table.

- So what should we do instead of updating the action-value function according to the bellman equation ? → Use the state as an input and construct a network whose output is a action-value function which means the whole network is a approximate function of Q-value

- the aim of this technique is to bring the current $Q(s, a, \theta_{t})$ closer to the optimal action-space function $Q^{*}(s, a)= r_{t+1} + max_a Q(s_{t+1}, a_{t+1})$

- how do you update the network ? →Construct the loss function using the previous parameter $\theta_{t-1}$

- when you train your network, to avoid the influence of the consecutive samples, you have to set a replay memory and choose a tuple $(s_{j}, a_{j}, r_{j}, s_{j+1})$ randomly from it and update the parameter

youtu.be

本日のおまけ

youtu.be

2020-05-28

Github.ioでポートフォリオを作ってみた（形から入ってみた）

雑談

f:id:shintaro-football7:20200528011544p:plain

githubってgithub.ioというサービスを出しておりまして誰でも無料でポートフォリオサイトを作れるんですよ。すげー。ということで、ぼくも形から入ってみた。形から入るの大事でしょ。出来上がったサイト（暫定）はこちらです.

ついでに講義の課題で必要なデータを取るためにOanda APIを使って過去の為替データを取得する簡単なpythonのクラスもgithubにコミーーーーーット！！！

参考というかパクったサイトはこちらです。

qiita.com

本日のおまけ

youtu.be

2020-05-22

読者の方から届いた問題解いてみた。

f:id:shintaro-football7:20200522042734p:plain

読者の方から届いた統計学の問題を解いてみました。

結論から言うと検定周りの知識がダメダメだということが分かりました。ちょっと勉強してきます。

問題を投稿してくれた投稿主に感謝です。

f:id:shintaro-football7:20200522042130j:plain

f:id:shintaro-football7:20200522042254j:plain

f:id:shintaro-football7:20200522042330j:plain

f:id:shintaro-football7:20200522042408j:plain

f:id:shintaro-football7:20200522042346j:plain

twitter.com

本日のおまけ

youtu.be

2020-05-04

複雑理工学専攻(H28) 第五問（力学）

複雑理工学専攻

f:id:shintaro-football7:20190610234322j:plain

ご要望があったのでH28年の力学の問題を解きました。

久しぶりに物理やりましたなー。しかも剛体。正直、回転の方程式って何？？？状態だったのできつかった。

【問題】

f:id:shintaro-football7:20200504041309p:plain

f:id:shintaro-football7:20200504041256p:plain

【解答】

f:id:shintaro-football7:20200504040902j:plain

時間があれば物理でも解きますのでこの問題を解いてほしいみたいな要望等あれば、遠慮なくコメントしてくださーい(解ければ、の話だが)。院試の問題とかではなくても、「この分野のこれを解説してほしい」みたいなご意見や「おすすめの音楽を教えてほしい！」などでもいいです。気軽にコメントどうぞ～！

研究の合間に取り組みたいと思います。（忙しかったら時間がかかることもあるのでそこんところよろぴく。）

twitter.com

ツイッターのフォローもよろしければぜひ～。

本日のおまけ

気が早いがみんな夏に向けてぶち上げて行けよ。

youtu.be

2020-04-15

【更新】複雑理工学専攻(H29)大問４訂正

複雑理工学専攻

f:id:shintaro-football7:20190610234322j:plain

複雑理工学専攻(H29)大問４の訂正版を掲載します。

「ベータ分布の計算ができなかった＋ベイズ推定の根本がわかっていない」という状況を克服したって感じです。

f:id:shintaro-football7:20200415204105j:plain

f:id:shintaro-football7:20200415204115j:plain

本日のおまけ

youtu.be

2020-04-07

Should I write my blog in English ? Yeah, probably.

f:id:shintaro-football7:20200407014747j:plain

I was wondering if I should write my blog in English. Actually, in my lab we speak in English whenever we have a meeting or seminar because there are many students from other countries, mainly from China and South Korea. Therefore, I thought it would be a good exercise to write this blog in English.

I decided to write academic articles in English in this blog. Although I used to live in the United States for about 3 to 4 years when I was little, I'm not good at speaking, reading, listening or writing. I think people reading this blog will find a lot of mistakes in my grammar or spelling. Please forgive me. I'll work hard to improve my English skill.

From the next article, I will basically introduce papers about machine learning, reinforce learning, information theory and bandit problems irregularly and randomly.

It would be really tough for me to continue this trial but I hope it will be fruitful.

That's all for this article and I hope you stay safe. See you next time !

Note:I will continue to write in Japanese except for academic matters.

Today's bonus

Recently, I started playing piano. Playing an musical instrument is so fun.

( I'm totally a beginner ! I've never even touched a piano in my life!)

↓"Cateen かてぃん" is a proffesional pianist. He graduated from the University of Tokyo.
youtu.be

youtu.be

2020-04-02

大学（計数工学科）卒業&大学院（複雑理工学）入学

雑談

f:id:shintaro-football7:20200402204418j:plain

f:id:shintaro-football7:20200402190456j:plain

先日無事、東京大学を卒業しました。めでたしめでたし。

そして今日から東京大学大学院新領域創成科学研究科複雑理工学専攻の杉山研究室に所属します。

進振りで計数工学科と航空宇宙工学科で悩んでた時期が懐かしい。どちらに行っても楽しかったでしょうが計数工学科を選んでよかったです。制御工学、信号処理、コンピュータアーキテクチャと色んな分野の概観を掴めるようになっている学科で、絶妙にホワイトだから自分の好きな分野の勉強をする時間もありました。

大学院ではより機械学習の数理寄り（ソフト寄り？）の研究がしたいと思って杉山研究室を選びました。強化学習、情報理論（量子情報理論も興味ありだけどここまでくると応用物理感がある）、バンディット問題などなど。どっちかって言うと理論の方が興味ありますが応用も興味あります。

とまあ自分の興味アリ分野の話はここまでにして、今日の話。

早速研究室からPCが支給された。新しいの買う必要がない！素晴らしい！東大ありがとう！I L○ve Y○u！

f:id:shintaro-football7:20200402190506j:plain

研究室のDの先輩とちょこっと世間話した後、いよいよ指導教官と初対面。業界についてたくさん有益な情報をいただいた。

主なカンファレンスの紹介。研究が盛んな分野、はたまたあんまり研究してる人がいない分野などのお話。全部大変参考になった。

どうやら最初の一年は自分の勉強したいこと、やりたいことに自由に取り組んで良いらしい。最初の一年で文献と論文漁って力をつけよう。

と、ここで！

次に先生に言われたことが衝撃だった。

「Twitterで中村君のブログを見ましたよ。感動しました。ははは。」

いや、まじか。こんな暇つぶしなブログ見られたのか、恥ずかしい。

てか先生Twitterやっていたのか。リサーチ能力が高い...

え、じゃあこの記事も読まれる可能性あるのか（笑）

気楽にやっていたブログにほんの少し緊張感が生まれた1日でした。

おわり。

twitter.com

本日のおまけ

川谷絵音はindigo la Endの方が好き。

youtu.be

2020-03-18

よくわかるトポロジー〜オイラー標数と平面グラフ〜

幾何学

f:id:shintaro-football7:20200318142100j:plain

これまでは代数学、解析学を主に取り扱ってきたましたが幾何学も面白そうなので取り扱ってみたいと思います。幾何学で有名なものといえば「ポアンカレ予想」でしょう。

ポアンカレ予想とは

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 $S^{3}$ に同相である。」

というもの。（すでに解決済みのミレニアム問題。）

これ自体はちんぷんかんぷんですが幾何学を学べば少し見通しがよくなるだろうと思って、幾何学を学んでみようと思った所存でございます。

幾何学といっても「位相幾何学」と「微分幾何学」があります。それらは大まかに言うと以下のようになるとのこと。

・位相的な繋がり方のみ気にする． ⇒ 位相幾何学

・位相的な繋がり方と曲がり方まで気にする． ⇒ 微分幾何学

そこで今回は比較的平易な「とくわかるトポロジー」で位相幾何学の雰囲気を掴んでから、微分幾何学をより難易度が高い「多様体の基礎」で学んでいきたいと思います。

よくわかるトポロジー

作者:山本修身
発売日: 2015/04/24
メディア: 単行本（ソフトカバー）

多様体の基礎 (基礎数学)

作者:松本幸夫
発売日: 1988/09/25
メディア: 単行本

それではまずオイラー標数を定義します。

まず以下でいう平面図形は「点以外で線が交差することはない」ということを前提にします。

そのもとでオイラー標数を以下のように

$e=p-s+f$

と定義します。 $p = 頂点数, s = 線の数, f = 面の数$ です。

すると平面図形のオイラー標数は1となります。

次に多面体のオイラー票数を考えます。

左下の図形2つのような多面体のオイラー標数は2です。これらはある一つの面を取り払えば、拡げて面に埋め込むことが出来ます。その平面図形のオイラー標数が1なので元あった面の分を足して、オイラー標数は2となるわけです。

【参考】

立体図形に関しては穴が開いていると袋状の立体とオイラー標数が異なることが分かります。これの詳しい説明は現段階では保留。

f:id:shintaro-football7:20200318142249j:plain

さて穴が開いていない多面体の代表例として正多面体があります。

正多面体は何種類あるでしょうか？

f:id:shintaro-football7:20200318142242j:plain

導かれた(k,m,n)のペアはあくまでまでも必要条件に過ぎませんが、全部ちゃんと存在します。

以下、平面図形と言わず平面グラフと呼ぶことにしましょう。点と線によって描かれるグラフのうち線が交差しないものを平面グラフと呼ぶのです。

平面グラフにおいて、引ける線の数には最大値が存在します。前の数が最大のグラフのことを極大平面グラフといいます。

f:id:shintaro-football7:20200318142234j:plain あるグラフが平面グラフかどうか、言い換えると線が交差しないような点と点の関係（つまりグラフ）かどうかを判定する方法としてとても美しい定理が存在します。

それは以下の $K_{5}, K(3,3)$ というグラフがキーとなります。

クラトフスキーの定理の証明👇

nayami0425.com

f:id:shintaro-football7:20200318142228j:plain

次回は「位相空間」、「連続性」、「同相」などのキーワードについてやっていこうと思います。

本日のおまけ

ミーハーなのでどっちも観た。面白かった。

ミッドサマーはディレクターズカット版を観ました。やばかったです（語彙...）。

youtu.be

2020-03-16

量子力学〜デルタ関数と連続固有値〜

量子力学

f:id:shintaro-football7:20200218213412j:plain

量子力学

作者:砂川重信
発売日: 1991/03/20
メディア: 単行本

今回はデルタ関数について。連続値的な固有値を持つ物理量を考えるにあたりデルタ関数を導入しなければいけない。 $\frac{sinx}{x}$ の積分で久しぶりに複素関数の本開いたわ。

f:id:shintaro-football7:20200316152810j:plain

f:id:shintaro-football7:20200316152802j:plain

f:id:shintaro-football7:20200316152755j:plain

f:id:shintaro-football7:20200316152749j:plain

本日のおまけ

まず音楽チョイスがオシャンティーなのよね。

youtu.be

2020-03-16

ガウス過程と機械学習〜ガウス過程回帰〜

ガウス過程機械学習（理論編）

f:id:shintaro-football7:20200307125339p:plain

今回はガウス過程回帰について。

ガウス過程と機械学習 (機械学習プロフェッショナルシリーズ)

作者:持橋大地,大羽成征
発売日: 2019/03/09
メディア: 単行本（ソフトカバー）

前回の内容はガウス過程とは何かというものだった。

f:id:shintaro-football7:20200313202234j:plain

yにノイズが乗っかるとしてももとのカーネル関数にノイズを入れたものを使って新たにカーネル関数を作れば良い。

f:id:shintaro-football7:20200313202241j:plain

さてここで一回多変量ガウス分布の条件付き確率について公式を一つ求める。

f:id:shintaro-football7:20200316150504j:plain

f:id:shintaro-football7:20200316150458j:plain

ここからガウス過程回帰について考える。予測値も入れた(N+1)×(N+1)次元のデータもガウス分布に従うと仮定して新しいデータ $x^{*}$ に対応する予測値を導く。その際使うのが上で導いた公式である。

f:id:shintaro-football7:20200316150452j:plain

最後に、カーネル関数のパラメータ推定についてちょっとだけ。具体的な計算方法について「SCG法」や「L-BFGS法」などが挙げられていますが今回は保留。

f:id:shintaro-football7:20200313202253j:plain

f:id:shintaro-football7:20200313202259j:plain

f:id:shintaro-football7:20200313202306j:plain

本日のおまけ

全然知らない人だけど喜び方がいい。お母さん（？）の温かく見守る感じも素敵ね。

合格おめでとうございます。全然知らない人だけど。

youtu.be

2020-03-13

量子力学〜ハイゼンベルグの不確定性原理と離散固有値〜

量子力学

f:id:shintaro-football7:20200218213412j:plain

今回は第2章からハイゼンベルグの不確定性原理と重ね合わせの原理、期待値、エルミート演算子などについて。

まずはハイゼンベルグの不確定性原理。直感的な説明は下の動画が結構わかりやすい。量子力学的粒子の運動量を見たいときは波動としての波長を測れないと求められないが、それだと正確な位置を求められない。逆に、正確な位置を観測すると波動としての情報が失われ、運動量を計算できないという話。

あとはエルミート演算子についてですが、これは次回以降のための準備に近い。

www.ted.com

続いて離散的な固有値をもつ物理量に関する固有値問題。

重ね合わせの原理はあの有名な「シュレディンガーの猫」でおなじみ。観測されるまで複数の状態が重ね合わさっていて、観測された瞬間一つの状態の収縮（瞬間転移）という話です。まじかよ。「神はサイコロを振らない」と述べたアインシュタインの気持ちよくわかるわ。

f:id:shintaro-football7:20200313122752j:plain

f:id:shintaro-football7:20200313122758j:plain

f:id:shintaro-football7:20200313122805j:plain

本日のおまけ

youtu.be

2020-03-09

集合の濃度　〜有理数と自然数はどっちが多い？〜

離散数学

f:id:shintaro-football7:20200307134808p:plain

離散数学入門整数の誕生から「無限」まで (ブルーバックス)

作者:芳沢光雄
発売日: 2019/12/18
メディア: 新書

自然数と有理数どちらが多いか？

数直線を書くと...

f:id:shintaro-football7:20200307133959p:plain

（写真出典：自然数と有理数ってどっちが多い？〜無限ってなんだろう〜 | 受験生応援し隊～presented by forEst～）

上の写真では自然数は目盛りの上にしかありませんが、有理数はその間にもあるので...

これは！明らかに！有理数の方が！多い！

と思うでしょうが...

実は自然数と有理数の数は一緒

です。直感と反しますね。

※余談ですが直感と反するといえば、以下の動画面白かった。

まあそれは置いておいて。

なぜ有理数と自然数の数が一緒なのか。

まずどちらも無限個あることは確かです。なので個数の比較を次のように考えます。

『集合Xから集合Yへの全単射が存在すれば同じ数だけあると言っていい（濃度が等しい）』

きわめてわかりやすく、直感に従う定義でしょう。

それでは見ていきます。

まずはタイトルにもあるとおり自然数の数と有理数の数ですが、自然数全体と有理数全体の間に全単射が存在するので同じ数だけあることになります。

f:id:shintaro-football7:20200309123851j:plain

続いて自然数全体と実数全体ですが、これは実数の数のほうが多いです。

以下の証明方法は「カントールの対角線論法」と言います。

f:id:shintaro-football7:20200309123850j:plain

おわり。

本日のおまけ

おすすめシリーズ

哲学

「スピノザ『エチカ』 100分で名著」

自伝

「不格好経営」

「豊田章夫」

「銃・病源菌・鉄」

小説

「異邦人」

美術史

「鑑賞のための西洋美術史入門]、「知識ゼロからの西洋絵画入門」、「巨匠に教わる絵画の見かた」

現在進行形＆これから読んでみたいシリーズ

1. Banach space & Hilbert space

2. function space（関数空間）

3. 優収束定理と単調収束定理ともう一つ

優収束定理

単調収束定理

定理（名無し）

4. 諸々のLemma

定義 (Lebesgue空間)

Youngの不等式、Hölderの不等式、Minkowskiの不等式

5. ルベーグ空間(空間の完備性)

定義 (Lebesgue空間)

方針

証明

「スピノザ『エチカ』　100分で名著」

5. ルベーグ空間( $L^p$ 空間の完備性)