徒然weed

アウトプットの場

行列式とは何か〜体積の概念の拡張〜

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下の本を読んで置換を学んでるうちに行列式の背景を直観的に理解できたので、それを本記事で紹介したいと思います。

行列式とは何か

今回は行列式とは何かについて考える。

行列式の定義自体はパッと見てもよくわからない。まじで意味不明である。

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行列式とは体積の概念の一般化とよく言われるが少しでもその見通しをよくしようというのが本記事の目的である。

行列式とは何かを理解するにはまず「置換」という離散数学における重要な概念を考える必要がある。

置換の概念は難しくない。あみだくじや席替えのように各元を別の場所に配置し直すような操作一般を言う。

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さて、行列式を考えるに当たって「偶置換」、「奇置換」を導入する。これも大変易しい概念である。置換を互換(何か何かの入れ替え)の積として表した時、互換の数が偶数になれば偶置換、奇数になれば奇置換というだけである。

今回は任意の置換が偶置換か奇置換かはその置換によって一意に決まるということを確かめる。(2通りの互換の積で表した時、片方が奇置換でもう片方が偶置換みたいな状況にはならないということ。)

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ここから行列式について考えていく。まずは二次元について見ていこう。

まずひとつ目のポイントは回転して一致すれば同じ座標系とみなすということである。

2つめは「負の面積」という概念を導入するということである。

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なんとなくぼんやりと見えてきた。

それでは三次元について見てみる。またしても回転して一致すれば同じ座標系とみなし、「負の体積」という概念も導入する。

この際、理解するべきは(x y), (y z), (z x)という座標軸の入れ替えを偶数回施せばもとの座標系に戻り、奇数回施すと体積の正負が反転するパラレルワードに飛ぶということである。

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最後にn次元に拡張する。

座標軸の互換を偶数回施すと元の座標系に戻り、奇数回施せば体積の正負が反転する(これを「歪対称性」と呼ぶ)ことを考慮し、生成されるn!個の座標系の単位体積の和として体積を定義付けたことになるのである。なお偶置換と奇置換の数が半分ずつあることの証明は割愛した。

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この一連の流れは「体積の概念を拡張」について少し直観的な理解を助けるのではないかと思っている。

 

 

本日のおまけ

「世界は誰によって支配されているか。」

グローバリズムとは誰がどのような意図で広めた概念か。」

就活でこういうこと聞く企業ないのかな、聞いたら面白いと思うけど。

 

地政学とか、建前ではない本音の世界経済を知るために新しく世界史と日本史と地理を勉強するようになった今日この頃ですが、大学受験でミリも使わなかったので現在必死こいて勉強中。興味の湧く分野は尽きないのであるなあ。