徒然weed

アウトプットの場

集合の濃度 〜有理数と自然数はどっちが多い?〜

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自然数有理数どちらが多いか?

数直線を書くと...

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(写真出典:自然数と有理数ってどっちが多い? 〜無限ってなんだろう〜 | 受験生応援し隊~presented by forEst~

 

上の写真では自然数は目盛りの上にしかありませんが、有理数はその間にもあるので...

 

これは!明らかに!有理数の方が!多い!

と思うでしょうが...

 

実は自然数有理数の数は一緒

 

です。直感と反しますね。

※余談ですが直感と反するといえば、以下の動画面白かった。

 

 

 

まあそれは置いておいて。

なぜ有理数自然数の数が一緒なのか。

まずどちらも無限個あることは確かです。なので個数の比較を次のように考えます。

 

『集合Xから集合Yへの全単射が存在すれば同じ数だけあると言っていい(濃度が等しい)』

 

きわめてわかりやすく、直感に従う定義でしょう。

それでは見ていきます。

まずはタイトルにもあるとおり自然数の数と有理数の数ですが、自然数全体と有理数全体の間に全単射が存在するので同じ数だけあることになります。

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続いて自然数全体と実数全体ですが、これは実数の数のほうが多いです。

以下の証明方法は「カントール対角線論法」と言います。

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おわり。

 

 

 

本日のおまけ