徒然weed

アウトプットの場

よくわかるトポロジー〜オイラー標数と平面グラフ〜

f:id:shintaro-football7:20200318142100j:plain

 これまでは代数学解析学を主に取り扱ってきたましたが幾何学も面白そうなので取り扱ってみたいと思います。幾何学で有名なものといえば「ポアンカレ予想」でしょう。

ポアンカレ予想とは

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S^{3}に同相である。」

というもの。(すでに解決済みのミレニアム問題。)

これ自体はちんぷんかんぷんですが幾何学を学べば少し見通しがよくなるだろうと思って、幾何学を学んでみようと思った所存でございます。

幾何学といっても「位相幾何学」と「微分幾何学」があります。それらは大まかに言うと以下のようになるとのこと。

・位相的な繋がり方のみ気にする. ⇒ 位相幾何学

・位相的な繋がり方曲がり方まで気にする. ⇒ 微分幾何学

そこで今回は比較的平易な「とくわかるトポロジー」で位相幾何学の雰囲気を掴んでから、微分幾何学をより難易度が高い「多様体の基礎」で学んでいきたいと思います。

よくわかるトポロジー

よくわかるトポロジー

  • 作者:山本修身
  • 発売日: 2015/04/24
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)
 
多様体の基礎 (基礎数学)

多様体の基礎 (基礎数学)

  • 作者:松本 幸夫
  • 発売日: 1988/09/25
  • メディア: 単行本
 

 それではまずオイラー標数を定義します。

まず以下でいう平面図形は「点以外で線が交差することはない」ということを前提にします。

そのもとでオイラー標数を以下のように

e=p-s+f

と定義します。p = 頂点数, s = 線の数, f = 面の数です。

すると平面図形のオイラー標数は1となります。

次に多面体のオイラー票数を考えます。

左下の図形2つのような多面体のオイラー標数は2です。これらはある一つの面を取り払えば、拡げて面に埋め込むことが出来ます。その平面図形のオイラー標数が1なので元あった面の分を足して、オイラー標数は2となるわけです。

【参考】

立体図形に関しては穴が開いていると袋状の立体とオイラー標数が異なることが分かります。これの詳しい説明は現段階では保留。

f:id:shintaro-football7:20200318142249j:plain

さて穴が開いていない多面体の代表例として正多面体があります。

正多面体は何種類あるでしょうか?

f:id:shintaro-football7:20200318142242j:plain

導かれた(k,m,n)のペアはあくまでまでも必要条件に過ぎませんが、全部ちゃんと存在します。

以下、平面図形と言わず平面グラフと呼ぶことにしましょう。点と線によって描かれるグラフのうち線が交差しないものを平面グラフと呼ぶのです。

平面グラフにおいて、引ける線の数には最大値が存在します。前の数が最大のグラフのことを極大平面グラフといいます。

f:id:shintaro-football7:20200318142234j:plainあるグラフが平面グラフかどうか、言い換えると線が交差しないような点と点の関係(つまりグラフ)かどうかを判定する方法としてとても美しい定理が存在します。

それは以下のK_{5}, K(3,3)というグラフがキーとなります。

クラトフスキーの定理の証明👇

 

nayami0425.com

f:id:shintaro-football7:20200318142228j:plain

次回は「位相空間」、「連続性」、「同相」などのキーワードについてやっていこうと思います。 

 

 

本日のおまけ

ミーハーなのでどっちも観た。面白かった。

ミッドサマーはディレクターズカット版を観ました。やばかったです(語彙...)。

youtu.be

youtu.be